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3-马尔科夫决策过程

Published at 2024-09-26
 Licensed under CC BY-NC-SA 4.0 notesjulyfun技术学习hrl

Table of Content

MRP 问题

  • 下方 表示状态集合中的元素， 表示某时刻状态取值
  • : 随机变量， 时刻获得的奖励（实际）
  • : 转移到状态 s 获得的奖励的期望
  • : 随机变量， 时刻获得的奖励
  • : 转移到状态 s 获得的奖励的期望******
  • : 一个马尔科夫过程中，从状态 开始到无穷步后衰减奖励之和
  • : 这里引入了衰减系数，则有
  • : 价值函数, 为一个状态的期望回报
    • 上一行等号最右边叫做贝尔曼方程，由 V 和邻接 V 组成
    • 奖励函数列向量 由 组成
    • 贝尔曼方程矩阵形式: 此法复杂度 ，不适用于大数据

MDP 问题

  • ：动作集合
  • ：期望奖励同时取决于状态和动作
  • ：状态转移概率也是，故马尔可夫矩阵不再有用

策略

  • ：状态 下采取 的概率
  • 状态价值函数 state-value function，即还不确定
  • 动作价值函数 action-value function，即确定了
    • 有
    • 有

贝尔曼期望方程

  • 代入即可，要么由 V 和邻接 V 组成，要么由 Q 和邻接 Q 组成
  • 将 表示为关于下一个状态的等式
  • 将 同样表示为关于下一个状态和动作的等式
  • image.png
  • 和 的例子
  • image.png

边缘化求状态价值函数

  • 边缘化：将 MDP 转化为 MRP：状态期望奖励 = 所有动作奖励 动作概率，状态转移到概率所有动作转移到概率动作概率

蒙特卡洛方法

  • 随机采样若干条序列，计算统计回报，用于计算状态价值函数
  • , 这是增量更新， 由实际采样计算得到
  • 代码实现更新方法：先获得一个序列，对该序列从后往前计算
def MC(episodes, V, N, gamma):
    # 这里 episode 是一个采样序列
    for episode in episodes:
        G = 0
        # 由于 G 的定义跟后续状态有关，只能从后往前计算.
        # 所以最后一个状态没有良好的 G（G = 0）
        for i in range(len(episode) - 1, -1, -1):
            (s, a, r, s_next) = episode[i]
            G = r + gamma * G
            N[s] = N[s] + 1
            V[s] = V[s] + (G - V[s]) / N[s]

占用度量

  • : MDP 的初始状态分布（在状态 的概率）
  • : 策略 下智能体 时刻为状态 的概率
  • : 状态访问分布， ，指策略下所有步在状态 的概率的衰减加权和
    • 似乎需要确定 .
  • 性质（离散形式类似于 MDP 贝尔曼期望方程）:
  • image.png
  • : 占用度量，就是动作状态访问分布，等于状态访问分布乘动作权重，表示策略下所有步在该（状态-动作对）的概率的衰减加权和
  • 定理 1: 占用度量相同 策略相同
  • 定理 2: 合法占用度量 ，可生成该占用度量的唯一策略为:

最优策略

  • 定理：有限状态和动作集合中，必然存在一个策略，在任意状态下的状态价值函数均不劣于其他策略
    • 感性上确实能理解
  • : ...
  • 重要：，只需选最好的一个动作即可。这是一个循环依赖，需要解方程

贝尔曼最优方程

  • 由上面导出
  • image.png