3-马尔科夫决策过程

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• 状态转移矩阵 ，表示状态对转移概率，为方阵，第 行第 个表示 转移到 概率

MRP 问题

• 下方 表示状态集合中的元素， 表示某时刻状态取值
• : 随机变量， 时刻获得的奖励（实际）
• : 转移到状态 s 获得的奖励的期望
• : 随机变量， 时刻获得的奖励
• : 转移到状态 s 获得的奖励的期望******
• : 一个马尔科夫过程中，从状态 开始到无穷步后衰减奖励之和
• : 这里引入了衰减系数，则有
• : 价值函数, 为一个状态的期望回报
  • 上一行等号最右边叫做贝尔曼方程，由 V 和邻接 V 组成
  • 奖励函数列向量 由 组成
  • 贝尔曼方程矩阵形式: 此法复杂度 ，不适用于大数据

MDP 问题

• ：动作集合
• ：期望奖励同时取决于状态和动作
• ：状态转移概率也是，故马尔可夫矩阵不再有用

策略

• ：状态 下采取 的概率
• 状态价值函数 state-value function，即还不确定
• 动作价值函数 action-value function，即确定了
  • 有
  • 有

贝尔曼期望方程

• 代入即可，要么由 V 和邻接 V 组成，要么由 Q 和邻接 Q 组成
• 将 表示为关于下一个状态的等式
• 将 同样表示为关于下一个状态和动作的等式
• 
• 和 的例子
• 

边缘化求状态价值函数

• 边缘化：将 MDP 转化为 MRP：状态期望奖励 = 所有动作奖励 动作概率，

蒙特卡洛方法

• 随机采样若干条序列，计算统计回报，用于计算状态价值函数
• , 这是增量更新， 由实际采样计算得到
• 代码实现更新方法：先获得一个序列，对该序列从后往前计算

1
def MC(episodes, V, N, gamma):
2
    # 这里 episode 是一个采样序列
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    for episode in episodes:
4
        G = 0
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        # 由于 G 的定义跟后续状态有关，只能从后往前计算.
6
        # 所以最后一个状态没有良好的 G（G = 0）
7
        for i in range(len(episode) - 1, -1, -1):
8
            (s, a, r, s_next) = episode[i]
9
            G = r + gamma * G
10
            N[s] = N[s] + 1
11
            V[s] = V[s] + (G - V[s]) / N[s]

占用度量

• : MDP 的初始状态分布（在状态 的概率）
• : 策略 下智能体 时刻为状态 的概率
• : 状态访问分布， ，指策略下所有步在状态 的概率的衰减加权和
  • 似乎需要确定 .
• 性质（离散形式类似于 MDP 贝尔曼期望方程）:
• 
• : 占用度量，就是动作状态访问分布，等于状态访问分布乘动作权重，表示策略下所有步在该（状态-动作对）的概率的衰减加权和
• 定理 1: 占用度量相同 策略相同
• 定理 2: 合法占用度量 ，可生成该占用度量的唯一策略为:

最优策略

• 定理：有限状态和动作集合中，必然存在一个策略，在任意状态下的状态价值函数均不劣于其他策略
  • 感性上确实能理解
• : …
• 重要：，只需选最好的一个动作即可。这是一个循环依赖，需要解方程

贝尔曼最优方程

• 由上面导出
•