3 马尔科夫决策过程

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状态转移矩阵 $cal(P)$，表示状态对转移概率，为方阵，第 $i$ 行第 $j$ 个表示 $s_i$ 转移到 $s_j$ 概率

MRP

下方 $s$ 表示状态集合中的元素，$S_t$ 表示某时刻状态取值
$R_t$: 随机变量，$t$ 时刻获得的奖励
$r(s)$: 转移到状态 s 获得的奖励的期望
$G_t$: 一个马尔科夫过程中，从状态 $S_t$ 开始到无穷步后衰减奖励之和
$gamma$: 这里引入了衰减系数，则有 $G_t = R_t + gamma R_(t + 1) + gamma^2 R_(t + 2).. = sum_(k = 0)^oo gamma^k R_(t + k)$
$V(s)$: 价值函数, 为一个状态的期望回报 $= EE[G_t | S_t = s] = EE[R_t + gamma V(S_(t + 1)) | S_t = s] = r(s) + gamma sum_(s^prime in S) p(s^prime | s) V(s^prime)$
- 上一行等号最右边叫做贝尔曼方程，由 V 和邻接 V 组成
- $cal(V) eq.def [V(s_1) ... V(s_n)]^T$
- 奖励函数列向量 $cal(R)$ 由 $r(s_i)$ 组成
- 贝尔曼方程矩阵形式: $cal(V) = (I - gamma cal(P))^(-1) cal(R)$ 此法复杂度 $n^3$，不适用于大数据

$pi(a | s)$：状态 $s$ 下采取 $a$ 的概率
$V^pi (s) eq.def EE_pi [G_t | S_t = s]$ 状态价值函数 state-value function，即还不确定 $a$
$Q^pi (s, a) = EE_pi [G_t | S_t = s, A_t = a]$ 动作价值函数 action-value function，即确定了 $a$
- 有 $V^pi (s) = sum_(a in A) pi(a | s) Q^pi (s, a)$
- 有 $Q^pi (s, a) = r(s,a) + gamma sum_(s^prime in S) P(s^prime | s, a) V^pi (s^prime)$
- $s -->^pi a_i -->^P s^prime$

边缘化：将 MDP 转化为 MRP：状态期望奖励 = 所有动作奖励 $times$ 动作概率，$"状态转移到 s' 概率" = "所有动作转移到 s' 概率" times "动作概率"$

$nu_0 (s)$ : MDP 的初始状态分布，为一向量
$P_t^pi (s)$ : 策略 $pi$ 下智能体 $t$ 时刻为状态 $s$ 的概率
$nu^pi (s)$ : 状态访问分布，$nu^pi (s) = (1 - gamma) sum_(t = 0)^oo gamma^t P_t^pi (s)$ ，指策略下所有步在状态 $s$ 的概率的衰减加权和
性质（离散形式类似于 MDP 贝尔曼期望方程）:
$rho^pi (s, a) eq.def (1 - gamma) sum_(t = 0)^oo gamma^t P_t^pi (s) pi (a | s)$ : 占用度量，就是状态访问分布乘动作权重，表示策略下所有步在该（状态-动作对）的概率的衰减加权和
定理 1: 占用度量相同 $<==>$ 策略相同
定理 2: 合法占用度量 $rho$ ，可生成该占用度量的唯一策略为:

$$pi_rho (s, a) = rho(s, a) / (sum_(a^prime) rho(s, a^prime)) $$