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3 马尔科夫决策过程

- ref: https://hrl.boyuai.com/chapter/1/%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E5%86%B3%E7%AD%96%E8%BF%87%E7%A8%8B
  • 状态转移矩阵 $cal(P)$，表示状态对转移概率，为方阵，第 $i$ 行第 $j$ 个表示 $s_i$ 转移到 $s_j$ 概率

MRP 问题

  • 下方 $s$ 表示状态集合中的元素，$S_t$ 表示某时刻状态取值
  • $R_t$: 随机变量，$t$ 时刻获得的奖励（实际）
  • $r(s)$: 转移到状态 s 获得的奖励的期望
  • $G_t$: 一个马尔科夫过程中，从状态 $S_t$ 开始到无穷步后衰减奖励之和
  • $gamma$: 这里引入了衰减系数，则有 $G_t = R_t + gamma R_(t + 1) + gamma^2 R_(t + 2).. = sum_(k = 0)^oo gamma^k R_(t + k)$
  • $V(s)$: 价值函数, 为一个状态的期望回报 $= EE[G_t | S_t = s] = EE[R_t + gamma V(S_(t + 1)) | S_t = s] = r(s) + gamma sum_(s^prime in S) p(s^prime | s) V(s^prime)$
    • 上一行等号最右边叫做贝尔曼方程，由 V 和邻接 V 组成
    • $cal(V) eq.def [V(s_1) ... V(s_n)]^T$
    • 奖励函数列向量 $cal(R)$ 由 $r(s_i)$ 组成
    • 贝尔曼方程矩阵形式: $cal(V) = (I - gamma cal(P))^(-1) cal(R)$ 此法复杂度 $n^3$，不适用于大数据

MDP 问题

  • $A$：动作集合
  • $r(s, a)$：期望奖励同时取决于状态和动作
  • $P(s^prime | s, a)$ ：状态转移概率也是，故马尔可夫矩阵不再有用

策略

  • $pi(a | s)$：状态 $s$ 下采取 $a$ 的概率
  • $V^pi (s) eq.def EE_pi [G_t | S_t = s]$ 状态价值函数 state-value function，即还不确定 $a$
  • $Q^pi (s, a) = EE_pi [G_t | S_t = s, A_t = a]$ 动作价值函数 action-value function，即确定了 $a$
    • 有 $V^pi (s) = sum_(a in A) pi(a | s) Q^pi (s, a)$
    • 有 $Q^pi (s, a) = r(s,a) + gamma sum_(s^prime in S) P(s^prime | s, a) V^pi (s^prime)$
    • $s -->^pi a_i -->^P s^prime$

贝尔曼期望方程

  • 代入即可，要么由 V 和邻接 V 组成，要么由 Q 和邻接 Q 组成
  • 将 $V^pi (s)$ 表示为关于下一个状态的等式
  • 将 $Q^pi (s, a)$ 同样表示为关于下一个状态和动作的等式
  • image.png
  • $A$ 和 $S$ 的例子
  • image.png

边缘化求状态价值函数

  • 边缘化：将 MDP 转化为 MRP：状态期望奖励 = 所有动作奖励 $times$ 动作概率，$"状态转移到 s' 概率" = "所有动作转移到 s' 概率" times "动作概率"$

蒙特卡洛方法

  • 随机采样若干条序列，计算统计回报，用于计算状态价值函数
  • $V(s) <- V(s) + 1 / N(s) (G - V(s))$, 这是增量更新，$G$ 由实际采样计算得到
  • 代码实现更新方法：先获得一个序列，对该序列从后往前计算
def MC(episodes, V, N, gamma):
    # 这里 episode 是一个采样序列
    for episode in episodes:
        G = 0
        # 由于 G 的定义跟后续状态有关，只能从后往前计算.
        # 所以最后一个状态没有良好的 G（G = 0）
        for i in range(len(episode) - 1, -1, -1):
            (s, a, r, s_next) = episode[i]
            G = r + gamma * G
            N[s] = N[s] + 1
            V[s] = V[s] + (G - V[s]) / N[s]

占用度量

  • $nu_0 (s)$ : MDP 的初始状态分布（在状态 $s$ 的概率）
  • $P_t^pi (s)$ : 策略 $pi$ 下智能体 $t$ 时刻为状态 $s$ 的概率
  • $nu^pi (s)$ : 状态访问分布，$nu^pi (s) = (1 - gamma) sum_(t = 0)^oo gamma^t P_t^pi (s)$ ，指策略下所有步在状态 $s$ 的概率的衰减加权和
    • 似乎需要确定 $nu_0$.
  • 性质（离散形式类似于 MDP 贝尔曼期望方程）:
  • image.png
  • $rho^pi (s, a) space eq.def space (1 - gamma) sum_(t = 0)^oo gamma^t P_t^pi (s) pi (a | s)$ : 占用度量，就是动作状态访问分布，等于状态访问分布乘动作权重，表示策略下所有步在该（状态-动作对）的概率的衰减加权和
  • 定理 1: 占用度量相同 $<==>$ 策略相同
  • 定理 2: 合法占用度量 $rho$ ，可生成该占用度量的唯一策略为:

$$pi_rho (s, a) = rho(s, a) / (sum_(a^prime) rho(s, a^prime)) $$

最优策略

  • 定理：有限状态和动作集合中，必然存在一个策略，在任意状态下的状态价值函数均不劣于其他策略
    • 感性上确实能理解
  • $V^(s), Q^(s, a)$ : ...
  • 重要：$V^ (s) = max_(a in cal(A)) Q^(s, a)$，只需选最好的一个动作即可。这是一个循环依赖，需要解方程

贝尔曼最优方程

  • 由上面导出
  • image.png